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April 5, 2017 | | By admin |

By C.Lardon, JM.Monier

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3 Calcul d’un polynôme P, connaissant des valeurs de P et de P Montrer qu’il existe P ∈ R3 [X] unique tel que : P(0) = 1, P(1) = 0, P (0) = 1, P (1) = 0, et déterminer P. 4 Exemple d’égalité de polynômes On note P0 (X) = 1 et, pour tout n ∈ N∗ : Pn (X) = 1 X(X + 1) · · · (X + n − 1). n! n Montrer : ∀n ∈ N, Pk (X) = Pn (X + 1). 5 Exemples de factorisations de trinômes bicarrés dans R[X] Factoriser dans R[X] : A = X4 − X2 − 1, B = X4 + 4X2 + 2, C = X4 + 1, D = X4 + X2 + 1, E = X4 − 3X2 + 1. 6 Exemple de factorisation dans R[X] Factoriser dans R[X] : P = 3X5 − 5X4 + 5X − 3.

Soient n ∈ N, P ∈ Rn [X] tel que : ∀k ∈ 0 ; n , P(k) = 42 Du mal à démarrer ? 40 Évaluation de polynômes particuliers Soient P ∈ R[X] unitaire, de degré n 1. On suppose que tous les zéros de P dans C sont réels, que les coeﬃcients de P sont tous 0 et que P(0) = 1. Démontrer : P(2) 3n . 41 Minimum de fonctions polynomiales sur R Soit P ∈ R[X] − {0}. On note n = deg (P) et on suppose que n est pair et que P est unitaire. a) Démontrer qu’il existe c ∈ R tel que : ∀x ∈ R, P(x) P(c). n b) Établir : ∀x ∈ R, P(k) (x) P(c).

On a : seul, noté a, n’ayant pas d’image par f et que a = Z = f (z) ⇐⇒ (1 − i z)Z = z − i ⇐⇒ (1 + i Z)z = Z + i . Z+ i Si 1 + i Z 0, alors : Z = f (z) ⇐⇒ z = , 1 + iZ donc Z admet un antécédent (et un seul) par f . ⇐⇒ zz = 1 ⇐⇒ |z| = 1. On conclut : g−1 (R) = z ∈ C ; |z| = 1 \ {− i }. 25 zk = xk + i yk , (xk , yk ) ∈ R2 . Si 1 + i Z = 0, c’est-à-dire si Z = i , alors : Z = f (z) ⇐⇒ 0z = 2 i , On a : n qui n’a aucune solution dans C, donc Z n’a pas d’antécédent par f . On conclut qu’il existe un complexe et un seul, noté b, n’ayant pas d’antécédent par f , et que b = i .