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April 5, 2017 | Mathematics | By admin | 0 Comments

By Ingrid Hilgert, Joachim Hilgert

Dieses Buch versteht sich als Reiseführer in das Land der Mathematik. Es informiert unter anderem über die Regionen dieses Landes (Algebra, Geometrie, research, Stochastik, ...), über seine Geschichte, bedeutende Krisen und Entwicklungslinien, Beziehung zu benachbarten Gebieten, Kultur und Gepflogenheiten (Modellbildung, das Phänomen des Beweises, Anwendungen, ...) und seine Bewohner, die Mathematiker. Für Abiturienten bietet dieses Buch eine umfassende Orientierung über das Reiseziel Mathematik. Angehenden Studierenden der Mathematik eröffnet die kompakte Darstellung einen Überblick über die Gesamtheit ihres Studienfachs. Sie finden einen Blick auf Zusammenhänge zwischen Fachgebieten, Informationen zu Vorlesungsinhalten und  eine Einführung in mathematische Denkweisen und Fragestellungen. Studierende profitieren von den Erläuterungen zu Anwendungen und Berufsfeldern und erweitern ihren Horizont durch einen Blick auf die Traditionen, die diese Disziplin prägen. Für künftige Mathematiker gehört dieser Reiseführer unbedingt ins Handgepäck.

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So könnten die Elemente der Mengen zum Beispiel Punkte auf einem Vieleck oder auch reelle Zahlen sein. Wenn A und B Mengen ähnlicher Natur sind, entspricht das eher der Vorstellung vom 24 1 Vom Wesen der Mathematik B A A f Abb. 8 Abbildungen Vergleichen. Man kann sich beispielsweise vorstellen, dass A und B Flächen sind, die übereinandergelegt werden. Wenn B eine Menge von Zahlen ist, dann ist die Abbildung eher so etwas wie das Anlegen eines Maßstabs. Hier kann man sich A zum Beispiel als Menge von Personen vorstellen, deren Körpergröße durch die Abbildung angegeben wird.

Diese Aussage ist falsch, da jede Primzahl p > 1 erfüllt. Wir haben also aus der Endlichkeit der Menge der Primzahlen die falsche Aussage abgeleitet, dass es eine Primzahl gibt, die kleiner als 2 ist, und damit die Negierung der Annahme, das heißt die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, gezeigt. Vollständige Induktion Die nächste Beweistechnik, die hier vorgestellt werden soll, ist der Beweis durch Induktion. Unter Induktion (vom Lateinischen inducere für „hineinführen“) versteht man generell das Schließen vom Speziellen auf das Allgemeine.

3 Die Rolle der Abstraktion in der Mathematik 25 Bisher haben wir die Entwicklung von abstrakten algebraischen Strukturen aus zwei konkreten Phänomenen (Teilbarkeit und Symmetrie) betrachtet. Nun wird ersichtlich, wie die nächste Stufe der Abstraktion funktioniert. Wir vergleichen die beiden algebraischen Strukturen, die wir in den so unterschiedlichen Kontexten gefunden haben. Als Beispiel nehmen wir die Rotationssymmetrien des n-Ecks und die Addition der Restklassen modulo n. Die Rotation kann man sich vorstellen als die Darstellung der Uhrzeit auf einem Ziffernblatt.

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