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April 5, 2017 | Mathematics | By admin | 0 Comments

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce livre est le cinquième du traité ; il est consacré aux bases de l examine fonctionnelle. Il contient en particulier le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Steinhaus. Il comprend les chapitres: -1. Espaces vectoriels topologiques sur un corps price; -2. Ensembles convexes et espaces localement convexes; -3. Espaces d purposes linéaires maintains; -4. l. a. dualité dans les espaces vectoriels topologiques; -5. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire).

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity a été publié en 1981.

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On notera que l'axiome (EO,) signifie que la structure de préordre et la structure de groupe additif de E sont compatibles, autrement dit que E, muni de ces deux structures, est un groupe préordonné (A, VI, p. 3). < < + Exemple. - Sur l'espace vectoriel E = RA de toutes les fonctions numériques finies définies dans un ensemble A, la relation d'ordre a quel que soit t E A, x(t) < y(t) » est compatible avec la structure d'espace vectoriel de E. PROPOSITION 13. - (i) Si E est un espace vectoriel préordonné, l'ensrmble P des éléments $ O de E est un cône convexe pointé.

On dit que Y est la topologie de la convergence compacte pour les fonctions f E Vm(R) et toutes leurs dérivées (cf. III, p. 9). 4 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 01 PROPOSITION 2. - Soient ï un ensemble de semi-normes sur un espace vectoriel E, Y la topologie sur E déjînie par T. (i) L'adhérence de {O) dans E pour Y est l'ensemble des x E E tels que p(x) = O pour toute semi-norme p E ï. (ii) Si Y est séparée et si ï est dénombrable, Y est métrisable. La proposition résulte aussitôt des définitions et de TG, IX, p.

On dit qu'une topologie sur E est compatible avec la structure d'espace vectoriel ordonné de E si d'une part elle est compatible avec la structure d'espace vectoriel de E, et si d'autre part elle satisfait a l'axiome suivant : (TO) Le cône convexe des x O est fermé dans E. Un espace vectoriel ordonné sur E, muni d'une topologie compatible avec sa structure d'espace vectoriel ordonné, est appelé espace vectoriel topologique ordonné. Exemples. - L'espace Rn, muni de sa topologie usuelle et de la structure d'ordre produit des structures d'ordre de ses facteurs, est un espace vectoriel topologique ordonné.

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