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April 4, 2017 | Science Mathematics | By admin | 0 Comments

By Rolf Nevanlinna

Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese zentrale Fragestellung sollen hier vorausgeschickt werden. Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement un­ beschränkt fortgesetzt. Angenommen, daß die so entstehende analytische Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G mit z nachstehenden Eigenschaften. 1. Jedem inneren Punkt z von G entspricht ein und nur ein aspect z von rationalem Charakter der Funktion w(z). 2. Jeder Randpunkt z* von G ist eine wesentliche Singularität z von w(z). Falls G die ganze geschlossene Ebene umfaßt (elliptischer Fall), z so ist w (z) eine purpose Funktion. Schließt guy diesen einfachsten Sonderfall aus, so hat guy zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem G z einfach oder mehrfach rusammenhängend ist. Wir beschränken uns auf den erstgenannten Fa}! und haben dann weitere zwei Möglichkeiten zu berücksichtigen: die Berandung r von G ist entweder ein Punkt z z (parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall). Das Gebiet G wird durch die Funktion w = w (z) auf eine über der z w-Ebene ausgebreitete RIEMANNSche Fläche G .konform abgebildet. to Die Umkehrfunktion z = z(w) von w(z) ist eine auf dieser Fläche G to eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion, d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z(w) sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.

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Differenzengeometrie

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0 shows the absence of a volume or a significance. it's so deeply rooted in our psyche this day that no-one will in all likelihood ask "What is 0? " From the start of the very construction of existence, the sensation of loss of whatever or the imaginative and prescient of emptiness/void has been embedded through the writer in all dwelling beings.

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2. Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen Funktion. 36. Zu einem ersten Spezialfall des Prinzips vom harmonischen Maß nehmen wir als Gebiet Gw einen Kreis Iw I< M und als Bereich Aw einen kleineren konzentrischen Kreis Iw I S,m

Ein durch (3') gegebenes Funktionselement w = w (z) läßt sich also in Gz unbeschränkt fortsetzen und definiert somit eine in jedem Punkt von Gz reguläre Funktion. Falls Gz einfach zusammenhängend ist, so ist w (z) eine im ganzen Gebiet Gz eindeutige Funktion, welche Gz auf eine endlich vielblättrige (p = 1) oder unendlich vielblättrige (p = 2) Überlagerungsfläche von G~ abbildet. Dieses Ergebnis besteht, wie immer der Parameter fl gewählt wird; eine Änderung des [t-Wertes hat nur eine Strömung der Punkte w längs den Niveaulinien von w (w, rx"" Gw) zur Folge.

Geht man mittels der Funktion z=z(x), welche den Einheitskreis ! x 1 < 1 auf die universelle Überlagerungsfläche G"' abbildet, zu der Funktion g(z(x), z0 ) über, so ist sie, wegen der eineindeutigen und stetigen Zuordnung der Bogen r. und yf, (vgl. Nr. 15) auf jedem solchen Peripheriebogen y! stetig gleich Null und somit nach dem Spiegelungsprinzip harmonisch. Hieraus folgt, daß die konjugierte Funktion -h(z(x), z0 ) ebenfalls auf yf, harmonisch und also jedenfalls stetig ist. Folglich ist auch h (z' Zo) auf den Randbogen stetig, was zu beweisen war.

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