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April 5, 2017 | Mathematics | By admin | 0 Comments

By Azriel Levy

Aimed at upper-level undergraduate and graduate scholars, this article is composed of two elements: the 1st covers natural set idea, and the second one bargains with purposes and complicated themes (point set topology, actual areas, Boolean algebras, endless combinatorics and massive cardinals). important appendix; quite a few workouts. 1979 variation. comprises 20 figures.

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On notera que l'axiome (EO,) signifie que la structure de préordre et la structure de groupe additif de E sont compatibles, autrement dit que E, muni de ces deux structures, est un groupe préordonné (A, VI, p. 3). < < + Exemple. - Sur l'espace vectoriel E = RA de toutes les fonctions numériques finies définies dans un ensemble A, la relation d'ordre a quel que soit t E A, x(t) < y(t) » est compatible avec la structure d'espace vectoriel de E. PROPOSITION 13. - (i) Si E est un espace vectoriel préordonné, l'ensrmble P des éléments $ O de E est un cône convexe pointé.

On dit que Y est la topologie de la convergence compacte pour les fonctions f E Vm(R) et toutes leurs dérivées (cf. III, p. 9). 4 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 01 PROPOSITION 2. - Soient ï un ensemble de semi-normes sur un espace vectoriel E, Y la topologie sur E déjînie par T. (i) L'adhérence de {O) dans E pour Y est l'ensemble des x E E tels que p(x) = O pour toute semi-norme p E ï. (ii) Si Y est séparée et si ï est dénombrable, Y est métrisable. La proposition résulte aussitôt des définitions et de TG, IX, p.

On dit qu'une topologie sur E est compatible avec la structure d'espace vectoriel ordonné de E si d'une part elle est compatible avec la structure d'espace vectoriel de E, et si d'autre part elle satisfait a l'axiome suivant : (TO) Le cône convexe des x O est fermé dans E. Un espace vectoriel ordonné sur E, muni d'une topologie compatible avec sa structure d'espace vectoriel ordonné, est appelé espace vectoriel topologique ordonné. Exemples. - L'espace Rn, muni de sa topologie usuelle et de la structure d'ordre produit des structures d'ordre de ses facteurs, est un espace vectoriel topologique ordonné.

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